О законах больших чтсел для полностью случайного поведения участников рынка
Еще со времен Я.Бернулли известно, что среднее в экономике нелинейно и не подчиняется обычной арифметике. Так, если некое лицо не является богачом, то среднее от выигрыша и проигрыша, например, 100 тысяч долларов для него не есть его привычная жизнь, т.к. в случае проигрыша такой суммы он может потерять жилье, стать бомжом и даже попасть в тюрьму, тогда как выигрыш этой суммы не настолько повысит его жизненный уровень, чтобы сравниться с потерями при проигрыше (оправдать риск проигрыша).
Если складываются акции предприятия и сумма составляет 51% всех акций, то возникает контрольный пакет акций. При сложении капиталов владельцы могут стать монополистами и повысить цену на товар. Это также свидетельствует о неарифметическом характере сложения. Нелинейное сложение можно наблюдать также при оптовых покупках – покупаешь больше товаров - за каждый товар платишь меньше.
Математической проблемой нелинейного среднего занимался великий русский математик А.Н.Колмогоров, который получил общую формулу для среднего. Автор добавил к его аксиоматике аксиому о том, что если к каждому элементу «суммы» прибавить (малое) число, то это же самое число должно прибавиться и к среднему.
Данное дополнение однозначно привело к следующему закону среднего чисел a и b: (a '+' b)/2 = 1/? log [ (2 ?a + 2 ?b )/2], где ? – некоторый неизвестный параметр, а log берется по основанию 2. При ?=0 получается обычное линейное среднее. Легко видеть, что при осреднении покупок параметр ? отрицателен, а при осреднении продаж положителен. Если рассмотреть в качестве сложения
a '+' b = 1/? log [ 2 ?a + 2 ?b ] , а обычное сложение a+b принять в качестве умножения, то законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности будут соблюдены. Такой арифметикой, возможно, пользуются где-то, в «королевстве кривых зеркал».
Подобная арифметика, как считает автор, более приспособлена к рыночной экономике, чем обычная, классическая арифметика. На ее основе на модельных примерах можно объясить эффекты пробоя курса акций, дефолта и ряд законов, замеченных при обработке статистических данных.
В настоящей заметке я хочу изложить неожиданный для меня самого экономический эффект. Речь пойдет о некотором статистическом буме, который в народе назвали бы «дуракам везет». С 2003 года получили огромный резонанс исследования, связанные с анализом операций на Лондонской фондовой бирже. Около 500 работ, которые можно найти в интернете по ссылке zero intelligence (нулевой интеллект) , обсуждают проблему полностью случайного поведения участников рынка. Дело в том, что трейдерам при покупке и продаже акций приходится учитывать такое огромное количество разных факторов, что невозможно принять однозначно верное решение, и поэтому поведение 95% участников рынка мало отличается от случайного. Если же оно отличается, то трейдер, как правило, проигрывает. При этом подразумевается, что должны быть достаточно большими объем продаж, число участников, число номенклатур финансовых инструментов по каждой цене и число всех инструментов.
Что же такое случайный выбор?
Для того чтобы совершить случайный выбор, нужно прежде всего просчитать все возможные варианты покупок или продаж и осреднить эти варианты. Параметр ? в первом случае достаточно просто выражается через величину потребительского бюджета ( budget restraint - BR) , во втором случае через требуемую доходность ( required rate of return - RRR).
Отметим, что варианты покупок и продаж подчиняются так называемой статистике Бозе. Например, число вариантов покупки гвоздей и хлеба на 2 копейки такое: 1) 2 копейки за гвозди; 2) 2 копейки за хлеб; 3) 1 копейка за гвозди и 1 копейка за хлеб. Итого - три варианта, т.к. денежные знаки одного достоинства неразличимы (закон, который можно назвать “деньги не пахнут”: если меняют одну купюру на другую – от этого ничего не меняется).
Как выбрать случайный вариант? Достаточно пронумеровать все варианты покупок, стоимость каждой из которых не превышает BR, и затем случайным образом, как при бросании кости, выбрать номер. Компьютер генерирует случайные числа (вернее, «псевдослучайные»). Оказывается, что выполняется закон больших чисел : подавляющее большинство таких случайных вариантов дает одно и то же значение количества покупок по данной цене для данного BR . Это значение может быть определено очень просто через нелинейное среднее от всех вариантов покупок путем малого варьирования данной цены (объем инструментов, купленных по данной цене, равен частной производной по этой цене от нелинейного среднего по всем вариантам покупок). Аналогичный закон имеет место для продавцов.
Отметим, что параметр ? <0 определяется для покупателей также приравниванием производной от нелинейного среднего по 1/ ? и логарифма числа вариантов покупок , стоимость которых не превышает BR. Соответственно для продавцов при ? >0 производная приравнивается к логарифму числа вариантов продаж , дающих прибыль не меньшую, чем RRR.
Таким образом, если поведение участников рынка полностью случайно, то мы можем определить число товаров, купленных большинством по данной цене, и даже оценить процент такого большинства. И обратно, если окажется, что это не так, то поведение участников рынка отнюдь нельзя считать случайным.
Если цены можно варьировать, то приравнивая количество проданных товаров как функцию RRR и купленных товаров как функцию BR , мы можем определить равновесные цены.
Из анализа работ цикла “ zero intelligence” следует, что трейдеры, которые не умничают, т.е. действуют не по расчету, а действуют наобум, в основном не проигрывают. В народе недаром говорят, что дуракам везет и что тот, кто в первый раз играет, т.е. не испорчен расчетами, как правило, не проигрывает. Приводятся обширные статистические данные, подтверждающие это. Значит, если принять, что интеллект подавляющего числа трейдеров равен нулю, то установленный автором закон дает правильный прогноз цен на свободном рынке.
Приведем аналогичную ситуацию для товаров потребления. Предположим, что покупатель имеет определенную сумму денег BR на покупку подарков впрок для большого числа людей и попадает в специализирующийся на сувенирах магазин (например, в Мексике) с k залами, в каждом из которых представлен широкий ассортимент сувениров по одной цене . Покупатель не знает вкусы всех своих знакомых, которым предназначаются подарки, и покупает «наобум». В этом случае действует указанный закон, и можно предсказать с достаточной точностью, сколько денег покупатель потратит в каждом зале. Говоря точнее, если аналогичных покупателей много, то подавляющее их большинство потратит ровно ту сумму в каждом зале, которую можно вычислить согласно приведенному закону.
Это очень простая модель. Ее можно обобщить. Например, рассмотрим случай, когда товары разбиты на i групп по близким ценам. Тогда определяется (нелинейный) средний доход по товарам, если продано N i товаров по этим ценам, и затем вычисляется средняя цена, отвечающая i- той группе. Предъявленный закон будет действовать и в этом случае, определяя, какую сумму истратит покупатель на данную группу товаров.